Värmekapacitet av fononer

Klassisk - Dulong & Petit

I klassisk termodynamik har vi Boltzmannfördelningen. Chansen att en partikel med en frihetsgrad har en energi En är omvänd proportionell mot exp[En/τ]  där  τ= .

Intrgralen över alla energier av denna chans ska normaliseras till 1.
Vi kan räkna ut partikelns medelenergi

Självklart gäller τ>0, så att medelenergin är lika med τ= för varje frihetsgrad.

I en kristall kan en jon oscillera i tre riktningar. Det ger tre frihetsgrader med 3per jon eller en energi U av 3= 3R T per mol, där R är gaskonstanten.

Specifika värmekapaciteten är definierad som vid konstant volym.
Vi ser att = 3 R ~~ 25 J/mol-K. Därmed har lagen av Dulong och Petit fått sin förklaring: alla ämnen har samma molare värmekapacitet, i alla fall vid hög temperatur.

Kvantmekanisk - Einstein

Planck kunde år 1900 förklara svartkroppstrålningens spektrum med kvanthypotesen, att energierna av elektromagnetiska svängningsmoder bara kan gå upp och ner i kvanter av hf = ℏω.

År 1907 tillämpade Einstein ett liknande resonemang på atomernas rörelser. Istället för integralen som ovan, tog han summan över tillätna värden. Han antog att alla frihetsgrader hadde samma frekvens (det är alltså enklare än för strålning i en svart kropp).
Per frihetsgrad blir det en förväntad energi:

Förväntansvärdet <n> av antalet kvanta i en mod med frekvens ω är alltså

Värmekapaciteten Cv är ges av derivatan mot temperaturen:

Vid en temperatur ≿ ℏω börjar närma sig det klassiska värdet 1 (inte eftersom  jag hade tagit τ = som variabel.

Skillnaden med den klassiska modellen visar sig vid låg temperatur:

(där jag för  ℏ och ω tog valfria positiva  värden.)

Härmed  löste Einstein år 1907 ett problem som man då knappast var medveten om. Hans teori stimulerade mätning av som funktion av temperatur i många ämnen, och det blev klart att Einsteins teori var mycket bättre än Dulong & Petit lag.

(För er som gick FTF I och har Tipler & Llewellyn:
se även kapitel 3-2 (särskilt exempel 3-4) och kapitel 8-4, särskilt s. 370- 372.)