Pärlor på en sträng

Rörelse-ekvation

Vi betraktar ett system med N pärlor på en sträng med spänning och vi betrakter transversella rörelser (eftersom de är lättare att visualisera än longitudinella, men härledningen går helt analogt).

Om det finns en enda pärla, är återdrivandekraften bara beroende på dess utvikelse. Vid små utvikelser är kraften proportionell och lika med -To u(t)/a - To u(t)/b, där a och b är avstånden till fästena.

Men om vi har många pärlor på avstånd a ifrån varandra, är kraften på pärla n beroende på skillnaderna med grannpärlornas utvikelser:

Den här ekvationen är generell. Den gäller för valfri motion av systemet.

Normala moder

Vi vill analysera det här systemet genom att studera dess normala moder: stående vågor där alla pärlor rör sig med samma frekvens och samma fasfaktor, där enbart amplituderna är olika. Vi har alltså:

Härmed blir accellerationen av pärla n lika med

så att rörelse-ekvationen blir en system av ekvationer för amplituderna:

eller

Det ser ut som ett svårlöst system med många ekvationer för många obekanta amplituder. Men vi vet att utvikelse av en kontinu sträng går som en sinus: A(z) = A sin = A sin kz.  Vi  försöker något liknande för de diskreta pärlorna sin kna.

För att underlätta Mathematicas hantering av variablarnamn, använderjag nu Aright istället för
A[n+1] = A Sin[k (n+1) a] och likadan för Aleft.

Det sista är lika med så att amplituderna kan elimineras från ekvationen:

eller

Vi får alltså följande  dispersionsrelation:

För våglängder mycket längre än a är dispersionen linjär. Fashastigheten är då

I zoncentern är grupphastigheten lika med fashastigheten. Men vid zongränsen finner vi

Att grupphastigheten blir 0 betyder att det inte finns gående vågor vid zongränsen, bara stående.