Madelung-konstanter

Tipler & Llewellyn skriver att serien 10-2 konvergerar mycket långsamt. Det är egentligen inte sannt: så de skriver den, konvergerar serien aldrig. Det betyder inte att Madelung-konstanten inte existerar, men det visar att matematisk och fysikalisk konvergens inte är riktigt samma sak.

Två-dimensionella kristaller

Exempel 10-3 handlar om en två-dimensionell kristall. Det är en serie som konvergerar långsamt. Potentialen avtar med 1/r och antalet joner i varje skal är nästan konstant. Termerna blir alltså så småningom mindre (men det är inte helt klart att de alltid har alternerande tecken).

Man kan snabba upp konvergensen avsevärt genom att ta tillsammans alla termer i en fyrkant först istället för att ordna termerna med tilltagande avstånd r. Fördelen är att varje fyrkant är elektriskt neutral.

Den första termen blir då

Den andra termen blir

De följande termerna blir:

eller likvärdigt

Vi ser att termen blir raskt mindre stora. Fluktuationerna är mycket mindre stora än i bokens Exempel 10-3. Efter fem termer har vi redan en nogrannhet på ungefär 1 %, medan boken har fluktuationer på 50 %.
Varför är det så? För att i boken varje nya skal kan ha en stor laddning, som ger ett stort bidrag till potentialen.

Tre-dimensionella kristaller

I tre dimensioner konvergerar serien 10-2 aldrig. Potentialen avtar sakta med avståndet, men när skalen blir större tilltar också antalet laddningar med samma tecken.

Men sådana sfäriska kristaller kan inte finnas i naturen!  Koksalt har bara {100} kristallytor som är elektriskt neutrala. Om vi därför tar termerna så att varje skal är elektriskt neutral (och enklast är det med koncentriska kuber) får vi en konvergerande serie.

Madelungkonstanten för NaCl-strukturen konvergerar till 1.7476... .