Paramagnetism

Varje elektron har en magnetisk dipolmoment - det är en liten magnet. Elektronens dipolmoment kallas för en Bohr magneton:

Eftersom Ampère är Coulomb per sekund, kan vi skriva det som Am  som är också lika med Joule per Tesla.

Kvantmekaniskt kan elektronens dipolmoment bara har två riktningar: parallell med ett magnetfält eller antiparallellt med det. Det finns en energi-skillnad  mellan dessa två tillstånd, som är proportionellt mot den magnetiska fältstyrkan B:

som är lika med

eller 58 μeV per Tesla. Även vid de starkaste magnetfält som man kan åstadkomma i laboratorier (typ 100 Tesla) är det mycket mindre än kT vid rumstemperatur.

I ett magnetfält beror en magnetisk dipols energi på dess orientation. För en elektron finns det bara två tillstånd, ↑ eller ↓. Energi-skillnaden är  proportionell mot fältet :

Ur statiska termodynamiken vet vi att Boltzmann-fördelningen ger sannolikheten för vilka energitillstånd ett system befinner sig i:

där k år Boltzmanns konstant och T den absoluta temperaturen.

Förväntningsvärdet för elektronens magnetiska moment är

Om vi har många oberoende spins så att den maximala magnetiseringen är När fältet är liten eller när temperaturen är hög, kan vi använda tanh(x)≈ x, och då får vi den paramagnetiska susceptibiliteten χ

Det är Curies lag, som säger att susceptibiliteten är omvänd proportionellt mot den absoluta temperaturen, där C är materialets Curie-konstant.

För stora fält och låga temperaturer gäller inte Curies lag längre. Då börjar magnetiseringen mättas. Vid 1 Kelvin är kT lika stor som μB  om fältet  är 1.5 Tesla..

Brillouin funktionen

Många joner har ett magnetskt moment som är större. Till exempel, har fem 3d elektroner med parallell spin. Det ger ett magnetiskt moment på 5 per atom. I ett magnetiskt fält finns nu inte bara två, men sex energietillstånd, med = -5/2, -3/2, ..., 5/2.
Boltzmannfördelningen är lite mer komplicerad att räkna ut, men vi får med samma metod som ovan att förväntningsvärdet av jonens magnetiska moment är

där g-faktorn brukar vara ungefär 2, där J=2S+L är summan av spinmoment och orbitalmoment, och där är Brillouinfunktionen:

En jämförelse med formeln för en elektron visar att

Om S blir stor, blir det som ett klassiskt dipolmoment, som kan ha alla orientationer. I denna klassiska limit, får man Langevin-funktionen:

som har en lutning vid x=0 som är tre gånger mindre än den kvantmekaniska formeln för en elektron med S=1/2.

Grafen visar Langevinfunktionen i svart och Brillouinfunktionen för S=1/2 (elektron) i blått, med Brillouinfunktionen för S=3/2 och S=5/2 mittemellan.

Man ser att en linjär approximation till kurvorna är bra för små värden av x = B/kT. Det betyder att magnetiseringen är proportionell mot fältet och omvänt proportionell mot temperatur. Det är vad Curies lag säger, att den magnetiska susceptibiliteten är omvänt proportionellt mot temperatur:

där C är Curie-konstanten.
Lutningen ger alltså Curie-konstanten. Den är förstås störst för grafen med största momentet. (Figuren visar bara Brillouinfunktionen, men mättnadsmagnetiseringen är förstås fem gånger så stor för en jon med S=5/2 än för S=1/2.)