Notation (kubiska gitter)

I strukturer med kubisk symmetri är det relativt enkelt att beskriva riktningar, eftersom koordinatsystemet man jobbar i råkar vara kartesiskt: de kristallografiska basvektrorerna a, b, c är lika långa och står vinkelrätt på varandra. De är som enhetsvektorerna x, y, z som alla är vana vid.

Riktning [hkl]

Om man vill ange en riktning, tar man koordinaterna av en punkt räknad från origo och multiplicerar med en gemensam faktor.
Till exempel, en ytcentrerad atom i fcc har koordinater a/2 + c/2. Riktningen från origo ditt är alltså [½, 0, ½]. Men vi kan multiplicera med en faktor 2, och då får man [101], som är exakt samma sak.
Negativa riktningar anges med ett streck över talet (som inte Netscape klarar av, därför skriver jag [111]).

Ekvivalenta riktningar <hkl>

I ett kubiskt gitter är riktningen [100] fysikaliskt likvärdigt med [010], [001], [100], osv. De går alla utmed en av kubens kanter. Skillnaden beror bara på valet av koordinatsystem. Samlingen av alla dessa rikningar är <100>.
På samma sätt representerar <110> kubens ytdiagonaler och <111> kroppsdiagonalerna.

Kristallplan (hkl)

För att tala om kristalytor och särskilt för att tala om röntgendiffraktion behöver man ett sätt att beskriva dem. Ytor är enklast. Särskilt enkla är kubiska gitter, eftersom man då kan ange rikningen på normalen. Ett exempel är att i fcc kristaller (111) är en tätpackad yta.
Röntgendiffraktion kan beskrivas som interferens från reflektioner från kristallplan med invärtes avstånd d. I en kubisk struktur gäller att d = a/√(h²+h²+l²). Det betyder att Miller indices (002) inte motsvarar samma diffraktion som (001), även om de är ekvivalenta när vi talar om kristalytor.

Ekvivalenta plan {hkl}

I en fcc struktur är (111) likvärdig med (111), (111) och (111). Alle dessa tre ytor är tätpackade, och samlingen av alla dessa riktningar kan anges med {111}.

OBS: Turton kap. 2.5 beskriver tydligt hur man bestämmer Miller indices i allmänna (även icke-kubiska) gitter. Men på sida 53 blir det fel. Definitionen för riktningen [hkl] är inte att den står vinkelrätt på planet med Miller-indices (hkl). Det är bara så i kubiska kristaller.

Mer information:

Uppgift