Elasticitet av salter

Coulomb-kraft och repulsion

Jonära kristaller hålls ihop av Coulomkraften, men det behövs en repulsiv kraft för att förhindra att avstånden blir mindre och mindre och att kristallen kollapsar till en punkt.
Man kan ta potentialen av en hård sfär, men då finns det inget att räkna vidare med. Realistiska potentialer är lite mjukare. Man kan ta en exponentiell funktion U = B , där ρ ≈ 0,3 Å. Eller man kan ta U = B , där n ≈ 10. Om man vet och bindningsenergi, kan man bestäma B, n och ρ, som jag visar i en notebook om Born-Mayer teori.

Istället ska jag följa Turton och välja potenslagen med n=10. Vi skriver

och

Eftersom den totala kraften vid jämnvikt är lika med 0, har vi FCoul[] + FRepul[] = 0.
Vi ser att  B = A.

I NaCl har vi laddningar +e och -e, och ett jämnviktsavstånd

så att

Den elektrostatiska kraften är alltså 2,90 nN och den repulsiva kraften är lika stor åt andra hållet.

Det var en plot av kraften i newton.
För en plot av den potentiella energi i eV integrerar vi och delar genom e:

Vi ser att potentialens minimum ligger vid jämnsviktsavståndet .

Kraftkonstanten

Nära kring jämnviktsavståndet kan potentialen approximeras som harmonisk:

Den återdrivande kraften nära jämnviktsavståndet kan appriximeras linjärt, så att vi får Hookes lag:

där k är kraftkonstanten som är alltså derivatan av kraften vid jämnviktsavståndet.

Om F[r] = -A / + A/, ser vi att  dF/dr = 2A / - 10 A /. Vid har vi alltså k = dF/dr = 8 A/. För NaCl blir det en kraftkonstant

Kraftkonstanten mellan en Na- och en Cl-jon är alltså 82 N/m.
I något lämpligare enheter blir det 82 pN/pm.

Elasticitetsmodulen

Makroskopisk definierar man Young's modulus som förhållandet mellan spänning (tryck) och töjning (kompression) av en stav. Spänning är kraft per yta (σ=) och töjning är den relativa längsändringen (ε=). Så vi har

Om vi nu betraktar vår lilla NaCl-dimer som en stav, ser vi att längden och att tvärsnittsarean . Enligt Hookes lag är , så att

En enkel teoretisk uppskattning av elasticitetsmodulen ger alltså att elasticitetsmodulen är ungefär 300 GPa. Det experimentella värdet av bulk modulus är 24 GPa, för Young's modulus 40 GPa. Uppskattningen är alltså för hög med en tiopotens.

Experimentell kan man bestämma elasticitetsmodulen ur ljudhastigheten.I en stav gäller: